伯克森悖論：選擇偏差如何創造虛假關聯

1946 年，美國明尼蘇達州羅徹斯特市的梅奧診所（Mayo Clinic），一位名叫約瑟夫·伯克森（Joseph Berkson）的醫生兼統計學家發現了一個令人困惑的現象：根據醫院數據，患有糖尿病的病人似乎較不容易罹患膽囊炎。難道糖尿病對膽囊具有某種保護作用？伯克森的答案是：不，這是數據來源本身造成的幻象。這個發現揭示了統計學中最隱蔽也最危險的陷阱之一——後來以他的名字命名的「伯克森悖論」。

一、什麼是伯克森悖論？

悖論的定義

伯克森悖論（Berkson's Paradox）是指由於樣本選擇的方式，在原本獨立或正相關的兩個變數之間，產生虛假的負相關關係。^[1] 更直白地說：當我們只觀察被「篩選」過的樣本時，可能會看到根本不存在的關聯。

這種現象也被稱為「碰撞偏差」（Collider Bias）或「選擇偏差」（Selection Bias）。在因果推論的術語中，當我們對一個「碰撞變數」（collider）進行條件化時，就會在原本不相關的變數之間創造出虛假的關聯。^[2]

與辛普森悖論的區別

伯克森悖論經常與辛普森悖論混淆，但兩者的機制截然不同：

• 辛普森悖論：聚合數據時，因混淆變數（confounder）的影響，使趨勢逆轉。問題在於「如何正確合併數據」。
• 伯克森悖論：因樣本選擇機制，在原本無關的變數間創造虛假關聯。問題在於「數據從何而來」。

用因果圖來說明：辛普森悖論涉及混淆變數（共同原因），而伯克森悖論涉及碰撞變數（共同結果）。在辛普森悖論中，我們應該控制混淆變數；在伯克森悖論中，我們不應該對碰撞變數進行條件化——但往往我們的樣本已經被條件化了。^[3]

數學解釋：條件機率的陷阱

讓我們用數學來理解伯克森悖論。假設有兩個獨立的疾病 A 和 B，在一般人群中：

P(A) = p_A，P(B) = p_B，且 P(A ∩ B) = p_A · p_B（獨立性）

現在，假設我們只觀察住院病人。一個人會住院的條件是：患有 A、患有 B、或同時患有兩者。設住院條件為 H = A ∪ B。

在住院病人中，已知某人患有疾病 A 的條件下，他患有疾病 B 的機率是：

P(B | A, H) = P(A ∩ B | H) / P(A | H)

經過計算，可以證明：^[4]

P(B | A, H) < P(B | H)

這意味著：在住院病人中，患有 A 的人反而較不可能患有 B——即使在一般人群中，A 和 B 完全獨立！這個負相關是純粹由選擇機制創造的幻象。

直觀的解釋是：如果一個人已經因為疾病 A 住院了，他「不需要」疾病 B 來解釋他為何在醫院。反過來說，如果他沒有 A，他更可能是因為 B 而住院。這種「解釋消除」（explaining away）效應正是伯克森悖論的核心。^[5]

二、經典醫學案例

糖尿病與膽囊炎：伯克森的原始發現

伯克森在 1946 年發表的經典論文《用列聯表分析醫院數據的局限性》（The Limitations of Applying Fourfold Table Analysis to Hospital Data）中，首次系統性地描述了這個問題。^[6]

他分析了梅奧診所的住院數據，發現一個令人困惑的模式：

群體	膽囊炎發生率
糖尿病患者	較低
非糖尿病患者	較高

如果天真地解讀這個數據，我們會得出結論：糖尿病對膽囊有保護作用。但伯克森指出，這個「發現」完全是選擇偏差造成的假象。

偏差的機制

問題在於：被研究的樣本是住院病人，而非一般人群。一個人會被納入研究的條件是「住院」，而住院的原因可能是糖尿病、膽囊炎，或兩者兼有。

• 在住院病人中，如果一個人有糖尿病，他就已經有了住院的「理由」，不需要膽囊炎來解釋他的住院。
• 相反，如果一個住院病人沒有糖尿病，他更可能是因為其他原因（如膽囊炎）而住院。
• 因此，在這個被選擇的樣本中，糖尿病和膽囊炎呈現負相關——但這完全是樣本選擇造成的。

伯克森的洞見在於：醫院不是社會的縮影。基於醫院數據的研究結論，可能完全無法推廣到一般人群。

呼吸系統疾病與骨折

類似的偏差在其他醫學研究中也被發現。假設我們在醫院中研究呼吸系統疾病與骨折的關係，可能會發現負相關：有呼吸疾病的病人較少有骨折。

這並不意味著氣喘能保護你免於摔斷腿！而是因為：

• 大多數人既沒有呼吸疾病也沒有骨折，他們不會出現在醫院樣本中。
• 進入醫院樣本的人，至少要有一個問題。
• 如果他們因為呼吸疾病住院，就不「需要」骨折來解釋住院；反之亦然。

肥胖悖論：一個當代爭議

近年來，流行病學中出現了一個令人困惑的發現：在某些慢性病患者群體中（如心臟病、腎臟病患者），肥胖的人反而有較低的死亡率——這被稱為「肥胖悖論」（Obesity Paradox）。^[7]

許多研究者懷疑這是伯克森悖論在作祟。邏輯如下：

• 肥胖和其他風險因素都會導致心臟病。
• 一個肥胖的心臟病患者，可能「不需要」太多其他風險因素就發病了。
• 一個體重正常的心臟病患者，可能需要更多其他風險因素（如遺傳、吸菸）才會發病。
• 因此，在心臟病患者這個被選擇的群體中，肥胖者可能整體風險因素較少。

2016 年發表在《美國醫學會雜誌》的研究表明，當控制選擇偏差後，肥胖悖論在很大程度上消失了。^[8] 這個案例提醒我們：即使在頂尖醫學期刊上，伯克森悖論仍可能潛伏其中。

三、日常生活中的伯克森悖論

「為什麼帥氣的人往往不夠體貼？」——約會市場悖論

這可能是伯克森悖論最生活化的例子。許多人抱怨：「為什麼長得好看的人往往個性差？」或者「為什麼有才華的人往往難相處？」

假設一個人是否值得約會取決於兩個獨立的特質：外表吸引力（A）和性格討喜（B）。在一般人群中，這兩者可能是獨立的——帥氣的人和普通人一樣，有好脾氣的也有壞脾氣的。

但是，當我們「篩選」約會對象時：

• 我們通常只會約會那些至少有一個優點的人（外表吸引人或性格討喜）。
• 在這個被篩選的群體中，如果一個人很帥，他就已經滿足了約會的「門檻」，不需要好脾氣。
• 如果一個約會對象不夠帥，他能出現在約會池中，更可能是因為他性格特別好。

結果：在我們實際約會的對象中，外表和性格呈現負相關——但這是選擇機制造成的，不是真實的人群規律。^[9]

這個例子說明：我們對世界的觀察，往往受限於我們接觸到的樣本。如果你總是覺得「好看的人都很難搞」，也許問題不在於這個世界，而在於你接觸到的是一個被篩選過的樣本。

好萊塢電影：為什麼高成本電影評價反而差？

影評人和觀眾常常抱怨：為什麼那些投資數億美元的大片，評價往往不如小成本獨立電影？難道錢越多拍得越差？

這裡又是伯克森悖論。能夠上映的電影，必須通過某種「品質門檻」——要麼劇本夠好，要麼明星夠多，要麼特效夠炫，要麼製作成本夠高。

• 一部高成本電影，光靠砸錢就能上映，不需要特別好的劇本。
• 一部低成本電影要能上映，通常需要劇本特別優秀或有其他突出之處。

因此，在「上映電影」這個被篩選的群體中，成本和品質呈現負相關。但如果我們能看到所有被製作的電影（包括那些沒能上映的低成本爛片），這種相關性就會消失。

學術界：頂尖期刊的奇怪引用分布

為什麼發表在頂尖期刊的論文，引用數的分布有時候看起來很奇怪？為什麼有些「低影響」的主題反而能登上頂刊？

一篇論文要能發表在頂尖期刊，需要滿足某種「卓越門檻」——要麼研究主題極度重要，要麼方法論創新，要麼數據獨特，要麼分析精妙。

• 如果一篇論文的主題本身就是當紅議題（會帶來大量引用），它對方法論創新的要求可能較低。
• 如果一篇論文的主題相對冷門，它能登上頂刊，往往是因為方法論或分析特別精妙。

結果：在頂刊中，熱門主題的論文和方法論創新呈現負相關。這不是因為研究熱門議題的學者不夠創新，而是篩選機制使然。^[10]

社交媒體：為什麼網紅的生活看起來都很完美？

滑動 Instagram 或小紅書，你會發現網紅們似乎都過著完美生活：既漂亮又有錢，既有趣又快樂。這真的反映現實嗎？

成為「網紅」本身就是一個強力的篩選機制。一個人要能在社交媒體上獲得大量追蹤，需要滿足某種「吸引力門檻」——外表、財富、生活方式、幽默感，至少要有一樣特別突出。

在一般人群中，這些特質可能是獨立的。但在「網紅」這個被高度篩選的群體中：

• 如果一個網紅外表普通，他能走紅很可能是因為內容特別有趣或生活方式特別吸引人。
• 如果一個網紅長得特別好看，他不需要其他方面同樣出色就能獲得追蹤。

但整體而言，能夠進入你視野的人，都是在某個維度上「超過門檻」的人。你看到的是被篩選後的頂端樣本，而非人群的真實分布。這也部分解釋了為什麼瀏覽社交媒體會讓人感到焦慮和不滿足。

四、「寒門出貴子」的統計學解釋

「寒門出貴子」是一個古老的說法，意指出身貧寒的人反而更容易成就大業。類似的觀察包括：「成功人士中，來自困難背景的人比例很高」或「頂尖 CEO 中有很多人小時候家境不好」。

這是真的嗎？還是伯克森悖論在作祟？

選擇偏差：只看到「成功」的樣本

假設成功取決於兩個因素：先天優勢（P，如家庭背景、社會資源）和個人能力（T，如智力、毅力、運氣）。一個人要「成功」，需要 P + T 超過某個門檻。

• 出身優渥的人（高 P），只需要普通的個人能力就能成功。
• 出身貧寒的人（低 P），需要極高的個人能力才能成功。

現在，當我們只觀察「成功人士」這個群體時：

• 來自富裕家庭的成功者，能力分布較廣——從普通到極高都有。
• 來自貧困家庭的成功者，幾乎都是能力極強的人——因為只有能力極強才能彌補背景劣勢。

因此，在「成功者」這個被篩選的群體中，家庭背景和個人能力呈現負相關。貧窮出身的成功者平均能力更強，給人「寒門出貴子」的印象。

但這不代表貧窮家庭「更容易」培養出成功人士！如果我們看的是全部人口，富裕家庭孩子的平均成就仍然更高。我們只是沒看到那些出身貧寒、能力普通、因此沒能成功的大多數人。

媒體敘事的放大效應

這種偏差被媒體進一步放大。「富二代繼承家業」不是好故事，但「窮小子白手起家」是勵志經典。媒體傾向報導逆襲故事，進一步加深了「寒門出貴子」的印象。

真正的教訓是：當我們觀察一個被篩選的群體時，看到的模式可能完全是篩選機制的產物，而非因果關係。

五、歷史背景：約瑟夫·伯克森其人

從數學到醫學

約瑟夫·伯克森（Joseph Berkson, 1899-1982）是一位獨特的學者——同時擁有醫學和統計學的專業訓練。^[11]

伯克森出生於紐約市，在紐約市立學院取得物理學學位後，繼續在哥倫比亞大學攻讀物理學碩士。然而，他的興趣逐漸轉向醫學，最終在約翰霍普金斯大學取得醫學博士學位。

1931 年，伯克森加入梅奧診所（Mayo Clinic），成為該機構的統計學部門負責人。他在這個位置上工作了超過 40 年，直到 1973 年退休。梅奧診所是當時世界上最大的醫療機構之一，擁有豐富的病人數據，這為伯克森的統計研究提供了理想的素材。

1946 年論文的誕生

伯克森在分析梅奧診所的數據時，發現了許多看似矛盾的關聯。當時的研究者經常使用「四格表」（fourfold table，即 2×2 列聯表）來分析疾病之間的關係，但伯克森意識到這種方法存在根本性的問題。

1946 年，他在《生物計量公報》（Biometrics Bulletin）上發表了那篇開創性的論文。^[6] 在論文中，伯克森不僅描述了這個偏差現象，還用數學證明了它的存在，並提供了具體的數值例子。

值得注意的是，伯克森並不是在抽象的數學環境中發現這個問題的——他是在實際的臨床數據分析中碰到了無法解釋的怪異模式，然後才追溯到選擇偏差這個根源。這種「從實踐中發現問題」的研究路徑，至今仍是科學發現的重要模式。

後續發展與影響

伯克森悖論的影響遠超出醫學統計。隨著因果推論理論的發展，特別是 Judea Pearl 和他的同事們對「因果圖」（Directed Acyclic Graphs, DAGs）的系統化研究，伯克森悖論被理解為「碰撞偏差」的一個特例。^[3]

在因果圖的框架中，當一個變數是兩個其他變數的「共同結果」（碰撞變數）時，對這個變數進行條件化會在原本獨立的兩個變數之間創造虛假關聯。這個理論框架幫助研究者識別和避免各種形式的選擇偏差。

今天，伯克森悖論已成為流行病學方法論課程的必修內容，是所有醫學研究者必須理解的基本概念。^[12]

六、如何避免伯克森悖論

1. 追問「樣本從何而來」

這是最重要的問題。在接受任何統計結論之前，先問：

• 這個研究的樣本是如何選擇的？
• 什麼樣的人會進入這個樣本？什麼樣的人會被排除？
• 進入樣本的條件，與我研究的變數有沒有關係？

如果樣本的選擇機制與研究變數有關，就要警惕伯克森悖論的可能。

2. 隨機抽樣的重要性

伯克森悖論之所以發生，是因為樣本不是從目標人群中隨機抽取的。理想情況下，研究應該使用隨機抽樣，確保樣本能代表目標人群。

當然，隨機抽樣並不總是可行的——我們不能隨機分配誰去住院。在這種情況下，研究者必須明確承認樣本的局限性，避免過度推廣結論。

3. 繪製因果圖

Judea Pearl 倡導的因果圖是識別伯克森悖論的有力工具。^[13] 在分析數據之前，先畫出你認為的因果關係圖：

• 識別所有的碰撞變數（colliders）
• 檢查你是否無意中對碰撞變數進行了條件化
• 如果是，考慮這會如何影響你的結論

4. 使用敏感性分析

當無法完全消除選擇偏差時，可以進行敏感性分析：假設偏差存在，它需要多大才能改變我的結論？如果只需要很小的偏差就能推翻結論，那結論就不穩健。^[14]

5. 批判性思考數據來源

最終，避免伯克森悖論需要的是批判性思維。不要盲目相信數據——要思考數據是如何產生的、有什麼局限性、可能存在什麼偏差。

記住：數據不會自己說話，數據需要在正確的框架下被解讀。

結語：看見看不見的

伯克森悖論教給我們的，遠不止一個統計技巧。它是關於認識論的深刻教訓——我們對世界的認識，總是受限於我們能觀察到的樣本。

在醫院裡，我們看到的是病人；在約會市場上，我們遇到的是願意約會的人；在成功者名單上，我們讀到的是那些成功了的人。我們看不見的，往往比我們看見的更重要。

那些沒有生病的健康人、那些沒有出現在約會市場的人、那些沒能成功的普通人——他們的存在塑造了我們觀察到的模式，儘管他們從未出現在我們的視野中。

伯克森在 1946 年的洞見，提醒我們永遠要問：「誰不在這個數據中？」 這個問題的答案，往往是理解數據真正含義的關鍵。

在這個數據爆炸的時代，我們比以往任何時候都更容易被表面的模式所誤導。理解伯克森悖論，不僅能讓我們成為更好的數據分析者，也能讓我們成為更謹慎的觀察者——對世界，也對我們自己的認知局限。